Vorbereitungskurs Mathematik für NaturwissenschaftlerInnen

Wir empfehlen die Teilnahme an diesem Kurs dringend allen Studienanfängern im Fach Physik.

nächster Termin:	10.09. bis 06.10.2012
Zeit:	09:00 bis 13:00 Uhr (9 - 11 Uhr: Vorlesung, 11 - 13 Uhr: Übung)
Ort:	Raumangabe folgt noch
Leiter:	Arthur Riefer, Martin Rohrmüller (05251) 60-2333 riefer[at]mail.uni-paderborn.de, rohry[at]mail.uni-paderborn.de
Anmeldung:	per Email beim Kursleiter oder telefonisch

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Vorwort
Einleitung
Das Peano Axiom der natürlichen Zahlen


Grundlagen

Mathematische Aussagen
Beweismethoden
Direkter Beweis
Indirekter Beweis
Vollständige Induktion
Mengen, Teilmengen
Zahlenmengen
Die natürlichen Zahlen N
Die ganzen Zahlen Z
Die rationalen Zahlen Q
Die reellen Zahlen R
Die komplexen Zahlen C
Beträge, Intervalle, Ungleichungen
Betrag
Intervalle
Ungleichungen
Kombinatorik
Permutationen
Variationen
Kombinationen


Komplexe Zahlen

Kartesische Darstellung
Die komplexe Zahlen in Polarkoordinaten
Gemetrische Deutung der Multiplikation als Drehstreckung
Euler’sche Darstellung der komplexen Zahlen
Die konjugierte komplexe Zahl


Abbildungen und Funktionen

Formale Definition
Eigenschaften von Funktionen
Verketten von Funktionen
Parität von Funktionen
Monotonie von Funktionen


Elementare und spezielle Funktionen

Potenzfunktionen
Gebrochene rationale Funktionen
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Gebräuchliche Logarithmen-Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Hyperbelfunktionen


Folgen und Reihen

Folgen
Definition
Konvergenzsätze
Spezielle Folgen
Weitere Konvergenzsätze
Unendliches, die uneigentliche Konvergenz
Reihen
Definitionen
Rechenregel
Das Cauchy-Produkt
Spezielle Konvergenzkriterien
Bedingte Konvergenz


Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Definition
Grenzwert von Funktionen für x gegen x0
Stetigkeit von Funktionen


Differentialrechnung

Definition der Ableitung
Ableitung der elementarsten Funktionen
Differentiationsregeln
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Ableitung der Umkehrfunktion
Höhere Ableitungen
Kurvendiskussion
Monotonie
Extrema
Wendepunkte
Krummungsverhalten
Anwendungen der Differentialrechnung
Bestimmung von undefinierten Ausdrücken
Optimierungsprobleme
Näherungsrechnungen
Fehlerfortpflanzung


Integralrechnung

Definition der Integration
Eigenschaften des Integrals
Inversion des Intervalls
Additivität des Intervalls
Linearität
Symmetrie
Existenz von Integralen
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Stammfunktion
Integrationsmethoden
Partielle Integration
Substitution
Partialbruchzerlegung
Uneigentliche Integrale
Anwendungen der Integration
Bogenlänge
Oberfläche eines Rotationskörpers
Volumen eines Rotationskörpers


Matrizen

Definitionen und Operationen
Determinanten
Definitionen
Eigenschaften
Entwicklung der Determinanten nach Zeilen und Spalten
Dreiecksmatrizen
Eigenvektoren und Eigenwerte


Vektorrechnung

Definition von Vektoren
Skalarprodukt
Koordinatendarstellung des R3  
Äußeres Produkt: ”Kreuzprodukt“, Vektorprodukt
Lineare Abhängigkeit
Elemente der analytischen Geometrie
Gerade im Raum
Ebene im Raum


Differentialoperatoren

Partielle Ableitung
Partielle Ableitung erster Ordnung
Partielle Ableitung höherer Ordnung
Differentialoperatoren
Gradient
Rechenregeln
Divergenz
Rechenregeln
Rotation
Rechenregeln


Differentialgleichungen

Gewöhnliche DGL der 1. Ordnung
Das Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf
Potenzreiheneinsatz
Taylor Reihenentwicklung
Separation (Trennung) der Variabeln
Gewöhn. lineare DGL n-ter Ordnung
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Allgemeine lineare DGL n-ter Ordnung
Potenzverfahren
Wronskideterminante
Reduktionsverfahren